).【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
26.(10分)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.
(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MONO;(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BMAB;(3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN2NCAC.
【分析】(1)先判断出ODOA,∠AOM∠DON,再利用同角的余角相等判断出∠ODN∠OAM,
判断出△DON≌△AOM即可得出结论;
(2)先判断出四边形DENM是菱形,进而判断出∠BDN225°,即可判断出∠AMB675°,
即可得出结论;
(3)设CEa,进而表示出ENCEa,CNa,设DEb,进而表示ADab,根据勾股定理
得,AC(ab),
同(1)的方法得,∠OAM∠ODN,得出∠EDN∠DAE,进而判断出△DEN∽△ADE,得出
,
进而得出a
b,即可表示出CN
b,AC
b,ANACCNb,即可
得出结论.【解答】解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O,
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f∴ODOA,∠AOM∠DON90°,∴∠OND∠ODN90°,∵∠ANH∠OND,∴∠ANH∠ODN90°,∵DH⊥AE,∴∠DHM90°,∴∠ANH∠OAM90°,∴∠ODN∠OAM,∴△DON≌△AOM,∴OMON;
(2)连接MN,∵EN∥BD,∴∠ENC∠DOC90°,∠NEC∠BDC45°∠ACD,∴ENCN,同(1)的方法得,OMON,∵ODOD,∴DMCNEN,∵EN∥DM,∴四边形DENM是平行四边形,∵DN⊥AE,∴DENM是菱形,∴DEEN,∴∠EDN∠END,∵EN∥BD,∴∠END∠BDN,∴∠EDN∠BDN,∵∠BDC45°,∴∠BDN225°,∵∠AHD90°,∴∠AMB∠DME90°∠BDN675°,∵∠ABM45°,
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f∴∠BAM675°∠AMB,∴BMAB;
(3)设CEa(a>0)∵EN⊥CD,∴∠CEN90°,∵∠ACD45°,∴∠CNE45°∠ACD,∴ENCEa,∴CNa,设DEb(b>0),∴ADCDDECEab,根据勾股定理得,ACAD(ab),同(1)的方法得,∠OAM∠ODN,∵∠OAD∠ODC45°,∴∠EDN∠DAE,∵∠DEN∠ADE90°,∴△DEN∽△ADE,
∴
,
∴
,
∴a
b(已舍去不符合题意的)
∴CNa
b,AC(ab)
b,
∴ANACCNb,
∴AN22b2,ACCN
b
b2b2
∴AN2ACCN.
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f【点评】此题是相似形综合题,主要考查了正方形的性质,平行四边形,菱形的判定,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出四边形DENM是菱形是解(2)的关键,判断出△DEN∽△ADE是解r