全国初中数学竞赛辅导八年级教学案全集
第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法则：1aMa
aM
；2ab
a
b
；3aM
aM
；4aM÷a
aM
a≠0，m＞
；
常用的乘法公式：1ababa2b2；2a±b2a2±2abb2；
4d±b3a3±3a2b3ab2±b3；5abc2a2b2c22ab2bc2ca．例1求x3x12x1展开后，x2项的系数．解x3x12x1x3x1x13．因为x2项只在x13中出现，所以只要看x131x3中x2项的系数即可．根据乘法公式有1x313x3x2x3，
f所以x2项的系数为3．说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．
x2x22x4xx3x32x12．解原式x32x24x2x24x8xx294x24x1x34x28x8x39x4x24x113x7972．说明注意本例中x2x22x4≠x38．例3化简1x1xx2x3…x
1，其中
为大于1的整数．解原式1xx2x3…x
1xx2x3…x
1x
1x
．说明本例可推广为一个一般的形式：aba
1a
2b…ab
2b
1a
b
．例4计算1abcdcadb；2x2yx2yx48x2y216y4．分析与解1这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式cbdacbdacbd2a2c2b2d22bd2bc2cda2．2x2yx2y的结果是x24y2，这个结果与多项式x48x2y216y4相乘时，不能直接应用公式，但
fx48x2y216y4x24y22与前两个因式相乘的结果x24y2相乘时就可以利用立方差公式了．原式x24y2x24y22x24y23x233x224y23x24y224y23x612x4y248x2y464y6．例5设x，y，z为实数，且yz2xy2zx2
yz2x2xz2y2xy2z2，
解先将已知条件化简：左边2x22y22z22xy2yz2xz，右边6x26y26z26xy6yz6xz．所以已知条件变形为2x22y22z22xy2yz2xz0，r