20092017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何⌒的中点．过1、（2009二试1）如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧⌒BC、AC点C作PC∥MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T．⑴求证：MPMTNPNT；⌒（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，，）⑵在弧ABTB，记AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
PNITAQ
A
CM
N
P
CMIT
PN
CMII2
B
B
I1A
BT
Q
【解析】⑴连NI，MI．由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形．因此NPMC，PMNC．连AM，CI，则AM与CI交于I，因为
MICMACACIMCBBCIMCI，所以MCMI．
同理NCNI．于是NPMI，PMNI．故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMTS△PNT（同底，等高）．又P，N，T，M四点共圆，故TNPPMT180，由三角形面积公式
111S△PMTPMMTsi
PMTS△PNTPNNTsi
PNTPNNTsi
PMT222
于是PMMTPNNT．
又因I1NTQNTQMTI2MT，有I1NT∽I2MT．故NTI1MTI2，从而I1QI2NQMNTMI1TI2．因此Q，I1，I2，T四点共圆．
f2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
A
O
B
EKD
C
P
Q
NM
22222同理QKQOrKOr，


2

所以POPKQOQK，
222
故OK⊥PQ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQAP．①QNPM
由梅内劳斯（Me
elaus）定理，得
NBDEAQ1，②BDEAQN
MCDEAP1．③CDEAPMNBMCNDMD由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是DMNDCB，所以BC∥MN，BDCDBDDC
故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而ABDC四点共圆注1：“PKP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
2
fPKKFAKKE，④
则P，E，F，A四点共圆，故
PFEPAEBCE，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PKPFPEPC，⑤
⑤④，得
PK2PEPCAKKEP的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）．
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
A
OFBEKDPC
Q
NM
3、（2011二试1）如图，PQ分别是圆内接四边形ABCD的对角线ACBD的中点．若BPADPA，证明r