10上递减7分
综上，St的单调递增区间为0，1
St
的单调递增区间为10
12tae
t
（II）因为St
，其中t
12
a
t
当a2，t02时，St
ate
高三数学（理科）试题第7页（共4页）
f因为t002，使得St0
St12ta1e
t
e
，所以St在02上的最大值一定大于等于e
，令St0，得ta18分
当a12时，即a3时
St12ta1e0
t
对t02成立，St单调递增
12a2e
2
所以当t2时，St取得最大值S2令
12a2ee
2
，解得a

2e
2
，
所以a310分当a12时，即a3时
St12St12ta1e0
t
ta1e0
t
对t0a对ta
1
成立，St单调递增成立，St单调递减
112e
a1
12
所以当ta1时，St取得最大值Sa令Sa
112e
a1
e
，解得al
22
所以l
22a312分综上所述，l
22a13分19解I因为椭圆M
xa
22

yb
22
1ab0
的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为60的菱形的四个顶点所以a
3b1
椭圆M的方程为
x
2
y
2
14分
12
x2y1y2
3
II设Ax1y1Bx2y2因为AB的垂直平分线通过点0

，显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时则AB的垂直平分线为y轴则x1
12x13
2
所以SAOB因为
2
2x1y1x1y1x1
1

x11
2
x13
2

13
x13x1
22
x13x1
2
x13x1
22

32
，时，SAOB取得最大值为
32
2

所以SAOB

32
，当且仅当x1
62
7分
当直线AB的斜率不为0时则设AB的方程为ykxt
高三数学（理科）试题第8页（共4页）
fykxt222所以x2，代入得到3k1x6ktx3t302y13
当
49k
2
33t0
2

即3k2
1t①
2
方程有两个不同的解又x1所以
x2y1y22
y1y21
6kt3k3k
2
1t
2
，
x1x22

3kt3k
2
1
8分
1
，
又
20
21x1x2k2
，化简得到3k214t
②
代入①，得到0t4r