赛第一试
10．已知fx是定义在R上的函数，f11且对任意xR都有fx5fx5
fx1fx1
若gxfx1x，则g2002．．
2
11．若log4x2ylog4x2y1，则xy的最小值是
f12．使不等式si
2xacosxa21cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是答案10解：由gxfx1x，得fxgxx1，所以
．
gx5x51gxx15gx1x11gxx11
即gx5gx，gx1gx∴gxgx5gx4gx2gx1gx∴gx1gx即gx是周期为1的周期函数，又g11，故g20021
x2y0x2y011解：x2y022x4y4x2yx2y4
由对称性只考虑y0，因为x0，所以只须求xy的最小值．令xyu公代入x24y24，有3y22uy4u20．这是一个关于y的二次方程显然有实根，故16u230，∴u3当x
343，y时，u3．故xy的最小值为333
a12a122a12解：原不等式可化为cosx24
a102a12a12有最大值1，∴当cosx1时，函数ycosx22
∵1cosx1，a0，从而有1
a12a122a2，整理得aa2024
∴a1或a2，又a0，∴a2
3
f1999年全国高中数学联合竞赛三、满分20分已知当x01时，不等式
x2cosx1x1x2si
0恒成立，试求的取值范围．
答案13若对一切x［0，1］，恒有fxx2cosx1x1x2si
0，则cosθf10si
θf001
取x0，1，由于fx2x1xsi
cosx1x，所以，fx0恒成立，当且仅当2si
cos10先在［02π］中解1与2：由cosθ0si
θ0，可得0θ又由（2）得所以，si
2θ2
5θ1212
12
25注意到02θπ，故有2θ66
5θ2kπkZ1212
因此，原题中θ的取值范围是2kπ
或解：若对一切x∈［0，1］，恒有22fxxcosθx1x1xsi
θ0，则cosθf10si
θf001
取
x0
∈0，1，则2x01x0．02x1x，
．
由于所以，0fx02故
反之，当1，2成立时，f0si
θ0，f1cosθ0，且x∈0，1时，fr