地说就是:积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×(头1)”。
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f我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法。例2(1)78×38=?(2)43×63=?分析与解:本例两题都是“头互补、尾相同”类型。(1)由乘法分配律和结合律,得到
78×38=(70+8)×(30+8)=(70+8)×30+(70+8)×8=70×308×30+70×8+8×8=70×30+8×(30+70)+8×8=7×3×100+8×100+8×8=(7×3+8)×100+8×8。于是,我们得到下面的速算式:
(2)与(1)类似可得到下面的速算式:
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十
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f位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。“补同”速算法简单地说就是:积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头尾”。例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?我们先将互补的概念推广一下。当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。例如,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。又如,
等都是“同补”型。当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。例如,
等都是“补同”型。
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f在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。例3(1)702×708?(2)1708×1792=?解:(1)
(2)
计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×(头1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。注意:互补数如果是
位数,则应占乘积的后2
位,不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用(见例4);如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了。例42865×7265=?解:
练习2
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f计算下列各题:168×62;293×97;327×87;479×39;542×62;6603×607;7693×607;84085×6085。第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有r