坐标系与参数方程知识点
一、极坐标与极坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点
Pxy是平面直角坐标系中的任意一点在变换


x

y

xy
0
的作用下点Pxy对
0
应到点Pxy称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换
2极坐标系的概念1极坐标系
如图所示在平面内取一个定点O叫做极点自极点O引一条射线Ox叫做极轴再选定一个长度单位一个角度单位通常取弧度及
其正方向通常取逆时针方向这样就建立了一个极坐标系注极坐标系以角这一平面图形为几何背景而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景平
面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系而极坐标系则不可但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系
2极坐标
设M是平面内一点极点O与点M的距离OM叫做点M的极径记为以极轴Ox为始边射线OM为
终边的角xOM叫做点M的极角记为有序数对叫做点M的极坐标记作M
一般地不作特殊说明时我们认为0可取任意实数特别地当点M在极点时它的极坐标为0∈R和直角坐标不同平面内一个点的极坐标有
无数种表示
如果规定002那么除极点外平面内的点可用唯一的极坐标表示同时极坐标
表示的点也是唯一确定的
3极坐标和直角坐标的互化1互化背景把直角坐标系的原点作为极点x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系中取相同的长度单位如图所示
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f2互化公式设M是坐标平面内任意一点它的直角坐标是xy极坐标是0于是极
坐标与直角坐标的互化公式如表
点M
直角坐标xy
极坐标
互化公式
xcos

y


si

2x2y2ta
yx0
x
在一般情况下由ta
确定角时可根据点M所在的象限最小正角
4常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点半径为r的圆
r02
圆心为r0半径为r的圆圆心为r半径为r的圆
2过极点倾斜角为的直线
2rcos
2
2
2rsi
0
1R或R20和0
过点a0与极轴垂直的直线
cosa
2
2
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f过点a与极轴平行的直线2
si
a0
注由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一即2都表示
同一点的坐标这与点的直角坐标的唯一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式只要
求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程点M可以表示为44
2或2或5等多种形式其中只有的极坐标满足方程r