2005年2012年全国各省市高考数列解答题中的递推数列的单调性和有界性问题
1．（2005年福建卷，理22）已知数列a
满足a1aa
11
1，我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a1时，a

得到无穷数列：12
3511当a时得到有穷数列102322
1
N，求证a取数列b
中的任一个数，都可以得到一b
1
（Ⅰ）求当a为何值时a40；（Ⅱ）设数列b
满足b1－1b
1个有穷数列a
；（Ⅲ）若
3a
2
4，求a的取值范围2
解：Ⅰ∵a1a∴1故当a
112a113a1a1a2∴a2a31a41a2a1a32a1a1a
2时a40。3
11b
1b
1b
1
Ⅱ∵b11b
1
当ab1时a11
110；当ab2时a21b1∴a20b1b21111b1∴a40b2∴a31b3a2b2
当ab3时a31
……一般地当ab
时a
10可得一个含育
1项的有穷数列a1a2a3…a
1可用数学归纳法加以证明：①当
1时ab1显然a20得到一个含2项的有穷数列a1a2②假设当
k时abk得到一个含有k1项的有穷数列a1a2a3…ak1其中ak10则
k1时abk1∴a21
1bkbk1
由假设可知可得到一个含有k1项的有穷数列a2a3…ak2其中ak20由①②知对一切
∈N命题都成立Ⅲ要使
3132∴1a
12a
2即12a
12
∴要使
33a
2当且仅当它的前一项a
1满足1a
12∵21222
递推数列的单调性和有界性第1页共30页
f∴只须当a42都有a
2
5
32
32
133a2a3a233a222a12由a4得故a0得2解不等式组2a122a13a22a0或a122a1
2．（2005年湖北卷，理22）已知不等式
1111log2
其中
为大于2的整数，log2
表示不超过log2
的最大整23
2
a
1
234
a
1
数设数列a
的各项为正，且满足a1bb0a

（Ⅰ）证明a

2b
3452blog2

（Ⅱ）猜测数列a
是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当
N时，对任意b0，都有a
（Ⅰ）证法1：∵当
2时0a

15

a
11
a
111
a
1a
a
1a
1

即
111a
a
1

于是有
111111111a2a12a3a23a
a
1
11111a
a123
111log2
a
ar