2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）x991．若函数fx且f
xfffLfx，则f1．．42144244431x

1答案】【答案】10
1【解析】fxfx解析】
x
1x2
，
x
f
2
xx
ffx
12x2
……
199x21故f991．10
f
99
x
．
9则圆心M到直线AC的距离dAMsi
45°，由直线AC与圆M相【解析】设Aa，a，解析】34．2解得3≤a≤6．
已知直线Lxy90和圆M2x22y28x8y10，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，∠BAC45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围．为答案】6【答案】3，2．．
交，得d≤
3．
y≥0在坐标平面上有两个区域M和N，M为y≤x，N是随t变化的区域，它由y≤2x不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数ft．
12解析】【解析】由题意知ftS阴影部分面积
【答案】t2t答案】
y
SAOBSOCDSBEF1121t21t221t2t2
ACDFEBx
O
f1111La2007对一切正整数
都成立的最小正整数
1
22
13a的值为．【答案】2009答案】111解析】L．显然f
单调递减，则由f
的最大值【解析】设f
1
22
11f1a2007，可得a2009．3
4．．
使不等式
x2y21ab0上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积OPOQ的最a2b2小值为．222ab答案】【答案】2ab2解析】【解析】设POPcosθ，OPsi
θ，
5．．
椭圆
ππQOQcosθ±，OQsi
θ±．22由P，Q在椭圆上，有
1OP1OQ
22

cos2θsi
2θ2a2bsi
2θcos2θa2b2
①②
①②得111122．22abOPOQ于是当OPOQ2a2b22a2b2时，OPOQ达到最小值2．a2b2ab2．
6．
若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是
【答案】k0或k4答案】kx0解析r