高二数学同步辅导教材（第1讲）
一、本讲进度
61不等式的性质
二、本讲主要内容
不等式的性质
三、学习指导
1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1）一个公理：abab0这个公理给出了实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法比较法。（2）三个基本性质：①abba②ab，bcac③abacbc在传递性中，称ab，bcac，从左向右是缩小；称ab，bcac，从左向右放大。不等式证明的过程就是适度放大或缩小的过程。因此，传递性是证明不等式的一个很重要的依据。（3）三个运算性质：①abacbc，推论：ab，cdacbd；ab，cdacbd②ab，c0acbc；ab，c0acbc推论：（i）
ab0acbdcd0


特例：ab0ab（ii）

∈N，
1
abab00cdcd
11ab
1
特例：ab，ab0
f③ab0


ab


1，
∈N
运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。对于乘方性质，可推广为：ab0，
为正有理数，则ab。对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例r