考研数学冲刺班高等数学与微积分
主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材
第一章
函数、极限、连续
§11函数
一、有关四种性质奇偶性、单调性、周期性、有界性1

a
a
0fxdxa20fxdx
当fx为奇函数a0当fx为偶函数
口诀1：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2在ab内，若fx0，则fx单调增加若fx0，则fx单调减少口诀2：单调增加与减少；先算导数正与负例1求I解

1
1
xx5exexl
xx21dx
f1xexex是奇函数，∵f1xexexf1xf2xl
xx21是奇
x21x2xx21
函数，∵
f2xl
xx21l

l
1l
xx21f2x
因此xexexl
x
x21是奇函数。
f于是I

1
1
x6dx02x6dx
0
1
2。7
例2设Fxfx，则下列结论正确的是A若fx为奇函数，则Fx为偶函数。B若fx为偶函数，则Fx为奇函数。C若fx为周期函数，则Fx为周期函数。D若fx为单调函数，则Fx为单调函数。解B不成立，反例fxxFx
2
x313
C不成立，反例fxcosx1Fxsi
xxD不成立，反例fx2xFxx2在内A成立。证明
FxF0
x0x
x
0
ft为奇函数，tdf
x
FxF0
ftdtF0fudu
0
F0fuduFx
0
所以，Fx为偶函数。例3设fx，gx是恒大于零的可导函数，且fxgxfxgx0，则当
axb时，下列结论成立的是
AfxgbfbgxCfxgxfbgbBfxgafagxDfxgxfaga
解∵
fx1fxg2xfxgxfxgx0，∴gx单调减少gx
fxfb，故A成立。gxgb
于是xb，则有
二、有关复合函数1已知fx，gx求fgx
1
f2已知fgx和gx，求fx例1、已知fx求fgx
f1xf2x
xaxa
和gx
g1xg2x
xbxb
f1g1xf1g2x解：fgxf2g1xfgx22
当xb，g1xa当xb，g2xa当xb，g1xa当xb，g2xa
例2、已知fexxex，且f10，求fx解：令et，则xl
t，因此
x
fexr