关于泰勒公式的概念及其应用一、泰勒公式的概念
到现今为止，人类只能用近似的方法计算指数函数、对数函数、三角函数、及反三角函数在定点的函数值，但可以准确计算整数幂的函数值，例如要计算e
05
就用近似计算法，而计算
0520505025，因此。人们想到了用多项式函数近似其它函数的方法，而多项式函数是一些
幂函数的代数和。设fx在区间ab有
1阶导数，x0ab，我们打算用构造一个关于xx0的多项式：
2
近似fx，使得fx与L
x在x0点有相同Lxa0a1xx0）a2xx0）a
xx0）
的函数值及其各阶导数值，而误差是R
x，即
2
fxa0a1xx0）a2xx0）a
xx0）R
x
1
如果确定了近似fx的多项式的所有的系数，就相当于明确了近似fx的多项式的表达式。近似fx多项式的系数一定与fx有联系，以下我们探讨近似fx多项式的系数多ai，（i12
）到底等于什么。
2
令Lx0fx0，得a0fx0Lx0a0，Lxa0a1xx0）a2xx0）a
xx0）
1，Lx0a1，Lxa12a2xx0）
a
xx0）
令Lx0fx0，得a1
Lx2a232xx0）
1a
xx0
2，
．．．．．．．．．．．．
令Lx02a2，．．．．．．．．．．
fx01fx0得a22fx0

L
x
a
所以
L
x0
a
令L
x0f
x0，
得a

fx0fx0f
x02Lxfx0xx0）xx0）xx0
，12
fx0fx0f
x02xx0）xx0）xx0
R
x．．．．．（２）12

即：fxfx0
拉格朗日利用罗必大法则证明了误差是
R
x
f
1xx0
1，在x0与x之间．
1
皮亚洛证明了，在
f
1在ab内有界的条件下，R
xoxx0
1．
f（２）式叫fx在ab内按照xx0的幂展开的泰勒公式，简称为fx在x0点的泰勒公式．说明（1）如果fx在区间ab有
1阶导数，则近似fx的多项式可以是1次到
次的任意次，但最少不能低于1次，最多不能超过
次。多项式的次方越高，则该多项式与fx越近似，误差。R
x就越小，因此R
x是“调节器”（2）在公式（２）中，x0可以是ar