三角函数最值问题的几种常见解法
三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一配方法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1函数ysi
2x3cosx3的最小值为（）
A．2
B0
C14
D6
分析本题可通过公式si
2x1cos2x将函数表达式化为ycos2x3cosx2，
因含有cosx的二次式，可换元，令cosxt，则1t1yt23t2配方，得
yt32124
1t1当t1时即cosx1时，ymi
0选B
例2求函数y5si
xcos2x的最值分析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
y5si
x
12si
2x

2si
2
x

5si

x
1

2si

x

5
2

33

48
1
si

x
1si

x

1x

2k

2
k

z
ymi


28116
338

6
si

x
1
x

2k

2
k

z
ymax

2116

338

4
二引入辅助角法
例3已知函数y1cos2x3si
xcosx1xR当函数y取得最大值时，求自变
2
2
量x的集合。
1
f分析此类问题为yasi
2xbsi
xcosxccos2x的三角函数求最值问题，
它可通过降次化简整理为yasi
xbcosx型求解。
解
：
y11cos2x22
3si
2x11cos2x
22
4
34
si

2x

54

12

12
cos2x

32
si

2
x

54

1si
2x2
6

52x4
6

2
2kx

6
kk
zymax

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三利用三角函数的有界性
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，
利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
例4求函数y2cosx1的值域2cosx1
分析此为yacosxb型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、ccosxd
同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反
解法，再用三角函数的有界性去解。
解法一：原函数变形为y12cosx1，可直接得到：y3或y1
2cosx1
3
解法一：原函数变形为cosx

y1
2y1

cosx
1
y1
2y1
1
y

3或
y

r