利用递推公式求通项公式
一、基本类型已知数列的首项和递推公式，可直接写出数列中的各项，可用待定系数法、累加法、累乘法、迭代法等求通项，也可以通过构造转化法化成新的等差、等比数列再进一步求通项构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系形如“a
1qa
b
N，其中qb为常数”，求数列a
的通项公式的关键是将a
1qa
b转化为a
1aqa
a的形式，其中
a的值可由待定系数法确定，即qa
ba
1qa
q1aa
bq1q1
1．已知首项a1且递推关系形如“a
a
1f
2”可以用“累加法”即：a
a
1f
a
1a
2f
1af23a，则有：3a2f2a1
a
a1f2f3f
1f
2．已知首项a1且递推关系形如“
a
，f
2”可以用“累乘法”或“迭代法”a
1
即a
a1f2f3f
1f
3．对于形如“a
1
sa
N，其中st为常数”的递推关系式，可采用取倒数的ta
s
t11t11，从而构造等差数列，其首项为，公差为sa
1a
sa1a

方法，将递推公式变形为
4．对于形如“a
1pa
f
N，其中p为常数”的递推关系式，一般利用待定
系数法构造新数列①若
f
为
的一次式，则可令b
a
A
B，即令
a
1A
1Bpa
A
B，与已知递推公式比较，解出AB，从而转化为
a
A
B是公比为p的等比数列
②若f
为
的二次式，则可令b
a
A
2B
C，下同①③若f
为
的指数式，即：a
1pa
rq
N（其中pq均为常数，
pqpqq10）
f解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q

1
得
a
1pa
r引入辅助数列q
1qq
q
b
（其中b

a
pr），得b
1b
，再利用待定系数法求解
qqq

5．对于形如“a
1f
a
g
N”的数列，往往要通过分析f
与g
的关系，整理变形成b
1b
h
或b
1pb
h
的形式来求解6．递推公式为“a
2pa
1qa
（其中pq均为常数）”，的数列，先把原递推公式利用待定系数法转化为a
2sa
1ta
1sa
，再进行求解
r7．形如“a
1pa
Nr