第四章态和力学量的表象
§41学习指导
上一章中介绍了量子力学中的力学量用厄密算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数。力学量本征函数的集合具有正交性和完备性。微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。前面所用的波函数xt本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量（或者力学量完全集）的本征函数展开的概率幅。反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄密矩阵。不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为么正矩阵。我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄密算符来表示。利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。本章的主要知识点有1微观状态的表象1）离散谱情况
设力学量Q的本征方程为Qu
xq
u
x
Z，任意波函数xt取值q
的概
率幅为c
t）
u


xxtdx，概率幅的全体可以用一个列向量
T
Lc0tc1tc2tL，简写为c
t
（41）
来表示，称为状态xt在Q表象下的形式，简称状态xt的Q表象。在离散的Q表象中，状态的归一化条件为
c
tc
t



c
tc
t1

（42）
其中c
tc
t2）连续谱情况

T
Lc0tc1tc2tL称为厄密转置。
力学量Q的本征方程为QuqxquqxqR，本征函数满足扩展的正交归一性
1
fu
q
xuqxdxqq和完备性uqxuqxdqxx。任意波函数xt取

值q的概率幅为cqt）
T
u
q
xxtdx，概率幅的全体可以用一个连续列向量表示，记为
LcqtL，简写为cqt
（43）
称为状态xt的Q表象。在离散的Q表象中，状态的归一化条件r