解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A、B是抛物线y22pxp0上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分
别为α和β，当α、β变化且αβ时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。
4
y
B
解析：设A（y122p
y1
），B（
y2
22
p

y2），则
Ax
O
ta
2pta
2p，代入ta
1
y1
y2
得2py1y2y1y24p2
（1）
又设直线AB的方程为ykxb，则
ykxb

y2

2px

ky2

2py

2
pb

0
∴
y1y2

2pbk
y1

y2

2pk
，代入（1）式得b

2p

2pk
∴直线AB的方程为y2pkx2p
∴直线AB过定点（2p2p
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，
再从AB直线系中看出定点。
例
2．已知椭圆C
：
x2a2

y2b2
1ab0的离心率为
3，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的2
圆与直线xy20相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设P40，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求
直线PN的斜率的取值范围；
参考资料
f



⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．
解析：⑴由题意知ec3，所以e2c2a2b23，即a24b2，又因为b
a2
a2
a2
4
a24b21，故椭圆C的方程为C：x2y21．4
21，所以11
⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为ykx4①
ykx4
联立

x
2
4

y2
1
消去
y得：4k2
1x2
32k2x416k2
10，
由32k2244k2164k240得12k210，
又k0不合题意，
所以直线PN的斜率的取值范围是3k0或0k3．
6
6
⑶设点Nx1
y1
Ex2
y2，则Mx1

y1
，直线ME
的方程为
y

y2

y2x2

y1x1
x

x2
，
令
y

0
，得
x

x2

y2x2r