第十五届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题
（2004年10月10日一．填空题（每题2分，共20分）上午9：0011：30）
注意：本考卷共九题。甲组九题全做，乙组只做前七题
1在x0的附近与函数fxsecx的差为x2的高阶无穷小的二阶多项式为__________________
22设曲线yfx与ysi
x在原点相切，则极限lim
f________

3设zfxysi
xycosy2y1cosxz则1si
xsi
y1y____________
01
fxxa0又Fx0x2tftdtx0x
当x0时Fx与x是同阶无穷小则
_______4设fx有连续导数且lim
5设二阶线性微分方程ypxyqxyfx有三个特解y1exy2eey3exex则该方程为____________________________
xx2
6设可导函数xxt由方程si
tt
xt
udu0所确定，其中可微函数
u0且001则x0_______
a0x27设fx，（a0a是常数），D是全平面，则其它0fxfyxdxdy的值为_______
D
8设向量u3i4jv4i3j且二元可微分函数fxy在点P处有fu
P
6
fv
P
21则df
p
___________________________
119已知级数si
收敛，则的取值范围为_________________
1

10设连续非负函数满足fxfx1x则2cosxdx___________1fx2

f二10分广义积分0

l
xdxa0的值为__________xa2
2
三10分已知方程logaxxb存在实根常数a1b0求ab应满足的条件
71四10分设a01a12a2a
11a
2证明当x1时2
1幂级数a
x
收敛并求其和函数Sx
0
五10分一颗地球同步通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内且可以近似地认为是圆若地球半径R6400km卫星距离地面的高度h3600km试计算通讯卫星覆盖地球的面积并说明至少需几颗这样的卫星就可以覆盖全部地球表面限用高等数学的方法
六10分函数fxy二阶偏导数连续满足成fxyhr求fxy2f0且在极坐标系下可表xy
七10分设有连续导数，对平面上任意一条分段光滑的曲线L，积分IL2xyydxx2y2xy22xydy与路径无关1当0201时求xx2设Lr