y12z12x22y22z22
空间向量平行和垂直的条件
若ax1y1z1，bx2y2z2，则
①ababx1x2，y1y2，z1z2R
x1x2

y1y2
z1z2
x2y2z20；
②abab0x1x2y1y2z1z20．
要点诠释：
资料来源于网络仅供免费交流使用
f精品文档用心整理
（1）空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P，在面xOy中，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，
则xPC，yAP＇，zPP＇．如图：（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
ababcosabcosabab，其中θ的范围是0．ab
（３）0与任意空间向量平行或垂直．
要点五：用向量方法讨论垂直与平行
线线平行
（ab）
图示
向量证明方法
ab
（a，b分别为直线a，b的方向向量）
线线垂直（ab）
ab（a，b分别为直线a，b的方向向量）
线面平行
（l）
a
，即a
0
（a是直线l的方向向量，
是平面
的法向量）．
线面垂直（l）
a
（a是直线l的方向向量，
是平面
的法向量）
资料来源于网络仅供免费交流使用
f面面平行
（）
精品文档用心整理
uv（u，v分别是平面，的法向量）
面面垂直（）
uv，即uv0
（u，v分别是平面，的法向量）
要点诠释：
（１）直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向
量．一个平面的法向量不是唯一的．
要点六：用向量方法求角异面直线所成的角
图示
向量证明方法
cosACBDACBD
（A，C是直线a上不同的两点，B，D是直线b上不同的两点）
资料来源于网络仅供免费交流使用
f精品文档用心整理
直线和平面的夹角
si
cosauau
（其中直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为
，a与u的角为）cos
二面角
（平面与的法向量分别为
1和
要点诠释：

2，平面与的夹角为）
①当法向量
1与
2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于
1，
2的夹角
1
2
的大小。
②当法向量
1，
2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于
1，
2的夹角的补角

1
2的大小。
要点七：用向量方法求距离图示
向量证明方法
点到平面的距离
PA
dAA

（
为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离
PA
dAA

（
是平面的公共法向量）
资料来r