z0在两个曲面上
解曲面xyza在点M的法向量
1y0z0x0z0x0y0，球面x2y2z227点M的法向量
2x0y0z0，二曲面在交点Mx0y0z0相切，则
1
2
于是
x0y0z0，
y0z0x0z0x0y0
而且
，x0y0z0ax02y02z0227
解之得到
x0y0z03，ax0y0z027
16计算yzdxzxdyxydz其中积分路径为椭圆
x2y2a2xz1a0b0若从x轴的正向看去这椭圆是取逆
ab
时针方向
难度等级3知识点斯托克斯公式曲面积分的计算二重积分
的性质
分析曲线的参数方程不易写出积分路径为闭用斯托克斯公
式

f
解取为平面xz1被所围成的部分的上侧的法线向量
ab
为
101其方向余弦为
ab
2
0asi
tbbcostasi
tbbcostacostacostacostasi
tbsi
tdt2a2abdt2aab
0
于是
coscoscosb0a
a2b2
a2b2
四、解答题每小题6分共12分
17
设
dz

ydxxdy3x22xy3y2

求原函数
z
yzdxzxdyxydz
coscoscos



x
y
dSz
yzzxxy
2abdSa2b2
2ab
1b2dxdy
ab22x2y2a2
a
2ab

a
dxdy
x2y2a2
2aba2a
2aab
难度等级2知识点曲线积分与路径无关的条件
分析利用曲线积分与路径无关找原函数
解
z
x
ydx
y
03x22xy3y210dyc
y
3
x0
x
dxy2
8y2
c
39
y
3
3xyx
arcta

3c
322y
22y
0
1arcta
3xyc
22
22y
xacost
或解

y

a
si

t
t02
zbbcost
yzdxzxdyxydz
18求与原点的距离为6，且在三个坐标轴上的截距之比为abc132的平面方程
难度等级：2；知识点：空间解析几何

f
分析平面的截距式方程为xyz1
abc
解设所求的平面方程为xyz1
k3k2k
即
6x2y3z6k0
由题意有6020306k6，即6k6，k7
622232
7
故所求的平面方程为
6x2y3z420

10
f
x12
F
2

y

FxF

y1x
dx
1fx1F211F2xF1Fxdx
0
2
2

12
F
2
1
F

x

16
F
3

x

12
F
1
F
2

x10
11fxdx3
60
20设有方程x
x10其中
为正整数证明此方程存在惟一正
五、证明题每小题6分共12分
19设函数fx在01上连续试证
11yfxfyfzdxdydz11fxdx3
0xx
60
难度等级3知识点重积分

实根x
并证明当

1时级数

x


收敛

1
难度等级2知识点敛散性的判别
证明1设fxx
x1fx
x
1
0x0fx单
增x0故方程x
x10至多一正实根
分析利用连续函数一定有原函数计算三次积分求出结果即
又f010f1
0故方程x
xr