一元二次方程根的判别式和韦达定理
知识点例题知识点一、一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2bxc0a0中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0a0的
根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac．
（1）当△0一元二次方程有2个不相等的实数根；x1b
b24ac2a
，
x2

b

b24ac．2a
（2）当△0

一元二次方程有
2
个相等的实数根；
x1

x2


b2a
（3）当△0一元二次方程没有实数根．
例1：下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．x22x10
B．x2x20
C．x210
D．x22x10
【变式一】不解方程，判断一元二次方程x2axa210的根的情况是（）．
A．没有实数根C．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根D．有两个不相等的实数根
例2．关于x的一元二次方程（k1）x22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围
是
．
【变式一】关于x的方程m2x22x10有两个不等的实根，则m的取值范围是
知识点二、韦达定理
1．如果一元二次方程
ax2

bx

c

0a

0
的两根为
x1、x2
，那么有：

x1



x1
x2
x2

ca

ba
．
例3：已知α，β是一元二次方程x2x20的两个实数根，则αβαβ的值是（
）
A．3
B．1
C．1
D．3
f【变式一】已知一元二次方程2x22x10的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（）
A．x1x21
B．x1x21
C．x1＜x2
D．
x12

x1

12
【变式二】已知x1，x2是关于x的方程x2bx30的两根，且满足x1x23x1x25，那么b的值为（）
A．4
B．4
C．3
D．3
2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形
①x12x22x1x222x1x2；
例4：设x1、x2是一元二次方程2x24x10的两实数根，则的x12x22值是（）
A．2
B．4
C．5
D．6
【变式一】设x1，x2是一元二次方程x22x30的两根，则x12x22
．
【变式二】若α、β是一元二次方程x22x60的两根，则α2β2
．
②x1x22x1x224x1x2；
例5：设x1、x2是一元二次方程x25x10的两实数根，则x1x22的值为
．
【变式一】设x1，x2是一元二次方程x25x60的两根，则x1x22
．
【变式二】若α、β是一元二次方程x27x60的两根，则2
．
③x1x2x1x22x1x224x1x2
例6：设x1、x2是一元二次方程3x24x50的两实数根，则x1x2的值为
【变式一】设
x1
，
x2
是一元二次方程
12
x2

5x
1

0
的两根，则
x1

x2

【变式二】若α、β是一元二次方程x22x50的两根，则
．．．
f④x1x2x1x22x1x224x1x2；
例7：若r