2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
小题，一、填空题（每小题6份，共60分，本题共10小题，要求直接填空题（将答案写在横线上）将答案写在横线上）
1已知集合Ax∈Rx2≤1，Bx∈Rx50，
2x
则A∩B
；
2．图1是一个算法流程图，若输入
1则最终输出的数据是；
3．设圆x2y21的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则AB的最小值为；
4．已知函数fx
22xx2log3x1x≥2
，若关于x的方程
fxm有两个不同的实根，则实数m的取值范围是
用区间形式表示）
5．设fx是定义在R上的奇函数，f12，当x0时，fx是增函数，且对任意的x、y∈R，都有fxyfxfy，则函数fx在32上的最大值是
f6．对于
∈N若
2
1是3的整数倍，则
被6除所得余数构成的集合是。
7．如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两个动点，且CD∥AB若半圆的半径为1则梯形ABCD周长的最大值是
8．如图3，在△ABC中，AB3，AC5，若O为△ABC的外心，则AOBC的值是
9．一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为1，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径R
10．把长为a的线段分成三段，这三条线段能构成三角形的概率为
二、解答题（每小题20分，共60分）11．设0αππβ2π若对任意的x∈R，等式
cosxαsi
xβ2cosx0恒成立，试求α、β的值。
ff12．如图4已知两点A50、B50，ABC的内切圆的圆心在直线x2上移动。1求点C的轨迹方程；求点的轨迹方程；2过点M20作两条射线，分别交中所求轨迹于P、Q两点，过点作两条射线，分别交1中所求轨迹于两点，且MPMQ0，求证：直线PQ必过定点。，求证：必过定点。
ff13．已知函数fx
16x7，数列a
、b
满足a10，b10，4x4
a
fa
1，b
fb
1，
23L1求a1的取值范围，使得对任意的正整数
都有a
1a
2若a13b14求证：0b
a
≤
18
1
，
123L
ff第二试一、数列
b
6
∈Na
2
a

满足
a14a
1a
6a
14a
80
，记
1求数列b
的通项公式；2求数列a
b
前
项和S

f二、如图，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q，求证：PQ2
PCPDQCQD
ff三
、
设
x1pr