导数定义例1．yfx
x2axbx2axb
x≤1x1
在x1处可导，则a
b
思路：思路yfx
x≤1x1
在x1处可导，必连续limfx1
x→1
x→1
limfxab
f11
∴ab1∴a2
x→0
lim
y2x
x→0
lim
yax
b1
例2．已知fx在xa处可导，且f′ab，求下列极限：
fah2fafa3hfah（1）lim；（2）limh→0h→02hh
相对应的形式。利用函数fx在xa处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。（1）lim解：
h→0
分析：分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择
fa3hfahfa3hfafafahlimh→02h2h
fa3hfafafahlimh→02h2hfa3hfa1fahfa3limlimh→0h→0h23h231fafa2b22lim
h→0
（2）lim
h→0
fah2fafah2falimhh→0hh2
lim
h→0
fah2falimhfa00h→0h2

1例3．观察x′
x，si
x′cosx，cosx′si
x，是否可判断，可导的奇函
数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若fx为偶函数
fxfx
令lim
x→0
fxxfxf′xx
1
ff′xlim
fxxfxfxxfxlimx→0xxfxxfxlimf′xx→0
x→0
∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f′fx′f′xx′f′x
已知函数fx在定义域R上可导，设点P是函数yfx的图象上距离原点O最近的点
1若点P的坐标为afa求证：afafa0

2若函数yfx的图象不通过坐标原点O证明直线OP与函数yfx的图象上点
P处切线垂直
证：1设Qxfx为yfx上的动点，则OQ2x2f2x，设Fxx2f2x则Fx2x2fxfx已知P为yfx图形上距离原点O最近的一点，∴OP2为Fx的最小值，即Fx在xa处有最小值亦即Fx在xa处有极小值∴Fa0，即2a2fafa02线段OP的斜率为
fa，yfx之图形上过P点的切线l的斜率为faa由1知fafaa，fa∴图象不过原点，∴a≠0，∴fa1a∴OP⊥l，即直线OP与yfx的图形上过P点的切线垂直
利用导数证明不等式例6．求证下列不r