第五节矩阵的初等变换
分布图示
★★★★初等变换★例1阶梯形矩阵★定理1初等矩阵★定理2求逆矩阵的初等变换法（定理3）★例5★例6★用初等变换法求解矩阵方程AXB★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题25★例2★例3★例4★例8
★例7★例11
内容要点
一、矩阵的初等变换在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换定义1矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换1交换矩阵的两行交换ij两行记作rirj2以一个非零的数k乘矩阵的某一行第i行乘数k记作rik3把矩阵的某一行的k倍加到另一行第j行乘k加到i行记为rikrj把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义相应记号中把r换成c初等行变换与初等列变换统称为初等变换注初等变换的逆变换仍是初等变换且变换类型相同例如，变换rirj的逆变换即为其本身；变换rik的逆变换为ri1k；变换rikrj的逆变换为rikrj或rikrj定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B则称矩阵A与B等价记为AB（或AB）注：在理论表述或证明中，常用记号“”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”矩阵之间的等价关系具有下列基本性质1反身性AA2对称性若AB则BA3传递性若ABBC则AC一般地称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵
f1零行元素全为零的行位于矩阵的下方2各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）一般地称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：1各非零行的首非零元都是1；2每个首非零元所在列的其余元素都是零一般地，矩阵A的标准形D具有如下特点：D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0定理1任意一个矩阵Aaijm
经过有限次初等变换可以化为下列标准形矩阵
11Err行AO0mrrr列0
Or
rOmr
r
注定理1的证明也实质上给出了下列结论定理1任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵并进而化为行最简形矩阵根据定理1的证明及初等r