试日期2007年7月9日星期一高等数学2期末B卷答案及评分标准120分钟第9页共65页
f弧AB：xacostyasi
t，0t，
4
xt2yt2a，
所以

e
x2y2ds
4
eaadtaea

；
AB
0
4
（2分）
线段OB：yx，0xa，1yx22，
2
a
所以
ex2y2ds2e2x2dxea1。
OB
0
（2分）
yB
O
Ax
x
综上，ex2y2ds＝ea2a2。
L
4
（2分）
4．计算曲面积分zdxdyxdydzydzdx其中是柱面x2y21被平面z0及z3所
截得的在第一卦限内的部分的前侧。
解：由于曲面在xoy坐标面上的投影区域Dxy为0，所以zdxdy0；（2分）
zz
曲面在yoz坐标面上的投影区域Dyz为0y10z3
xdydz
Dyz
1y2dydz
3
dz
1
00
1
y
2
dy

3

4

3
o
（2分）x
z0
y
同理，曲面在xoy坐标面上的投影区域Dxz为0x10z3
ydxdz
1x2dxdz
3
dz
1
1x2dx3

Dxz
00
4
（2分）
故，zdxdyxdydzydzdx233。

42
（2分）
x2
1
五．（8分）求幂级数
（1x1）的和函数，并求数项级数

12
1

1

12
12

的
和。
解：在（1，1）上，令
sxxx3x5
35上式两边积分得：


1
x2
12
1
sx



1
x2
12
1



1
x2
12
1



1
x2
2
1
1x2
（3分）
sxx2
1
12
1
x101x2
dx

12
l

11

xx
1x1，
（3分）

1

12
12


1

12
1
22
11

12
s
12


12

12
l

2121
1l
2
21
（2分）
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f六．（8分）求微分方程yysi
2x0满足初始条件y1y1的特
x
x
解。
解：对应齐次微分方程的特征方程为：
r2r0
故特征根r10，r21从而齐次微分方程的通解为：yc1c2ex
因2i不是特征根，故可令非齐次方程特解为：
yAcos2xBsi
2x
代入方程解得A1，B1于是原方程通解为：
10
5
y

c1

c2ex

110
cos2x

15
si

2x
代入初始条件得c2


3e5
，c1

32
所以满足初始条件的特解为：y33eex1cos2x1si
2x。
25
10
5
（2分）（2分）
（2分）（2分）
七．（6分）证明：ey2dxxdy2，其中L是4x2y28x正向一周。L
解：因曲线为封闭曲线，PQ满足Gree
公式条件，从而直接应用Gree
公式有：
原式＝QPdxdy12yey2dxdy
Dxy
D
＝dxdy2yey2dxdy
D
D
＝120
＝2
高等数学试卷1
（2分）
（1分）（2分）（1分）
考试日期2007年7月9日星期一高等数学2期末B卷答案及评分标准120分钟第11页共65页
f考试日期2007年7月9日星期一高等数学2期末B卷答案及评r