§26
幂函数
基础自测1下列函数中：①y②y3x2③yx4x2④y是幂函数的个数为答案22（2008山东文，4）给出命题：若函数yfx是幂函数，则函数yfx的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是答案13下列说法不正确的命题的序号是①幂函数一定是奇函数或偶函数②任意两个幂函数图象都有两个以上交点③如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同④图象不经过（1，1）的幂函数一定不是偶函数答案①②③4若幂函数fx的图象经过点3，则其定义域为答案xx∈R且x≠05若a1＜32a，则a的取值范围是答案例1已知函数fxm2m1x5m3，m为何值时，fx是（1）幂函数；（2）幂函数，且是0∞上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（5）二次函数解（1）因f（x）是幂函数，故m2m11，即m2m20解得m2或m1（2）若f（x）是幂函数且又是（0，∞）上的增函数，则∴m1（3）若fx是正比例函数，则5m31解得m此时m2m1≠0故m（4）若fx是反比例函数，则5m31则m此时m2m1≠0故m（5）若fx是二次函数，则5m32即m1此时m2m1≠0，故m1综上所述，当m2或m1时，fx是幂函数当m1时，fx既是幂函数，又是0∞上的增函数当m时，fx是正比例函数当m时，f（x）是反比例函数当m1时，f（x）是二次函数例2点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有f（x）＞g（x），f（x）g（x），f（x）＜g（x）解设f（x）xα，则由题意得2（）α，∴α2，即f（x）x2，再设g（x）xβ，则由题意得（2）β，∴β2，即g（x）x2，在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的图象，如图所示由图象可知：
f①当x＞1或x＜1时，f（x）＞g（x）；②当x±1时，f（x）g（x）；③当1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）例314分已知幂函数fxx（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，∞）上是单调减函数（1）求函数fx（2）讨论F（x）a的奇偶性解（1）∵f（x）是偶函数，∴m22m3应为偶数2分又∵f（x）在0，∞上是单调减函数，∴m22m3＜0∴1＜m＜34分又m∈Z，∴m0，1，2当m0或2时，m22m33不是偶数，舍去；6分当m1时，m22m34∴m1即fxx48分（2）F（x），∴F（x）bx310分①当a≠0，且b≠0时，F（x）为r