圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程：
1、（1）已知双曲线
C1
与椭圆
C2
：
x236

y249

1
有公共的焦点，并且双曲线的离心率
e1
与椭圆的
离心率
e2
之比为
73
，求双曲线
C1
的方程．
（2）以抛物线y28x上的点M与定点A60为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方
程．
（1）解：C1的焦点坐标为013e2
137
由
e1e2

73
得
e1

13设双曲线的方程为3
y2a2

x2b2
a2b2

1ab

0
则
a2

b2
a2
1313
9
解得a29b24
双曲线的方程为y2x2194
（2）解：设点
M
x0

y0

Px
y
，则

x


y

x02
y02
6
，∴
x0

y0

2x2y
6
．
代入y028x0得：y24x12．此即为点P的轨迹方程．
2、（1）ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．（2）△ABC中，B50C50且si
Csi
B3si
A求点A
5
的轨迹方程．
解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为x，y，
由GCGB20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a10，c8，
有b6，故其方程为x2y21y0．设Ax，y，Gx，y，则
10036
x2100

y236

1
y

0
．
①由题意有
x


y

x，3代入①，得A的轨迹方程为
x2
y
900
3
y2324
1y
0，
其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．
（2）分析：由于si
A、si
B、si
C的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可
转化为边长的关系．
解：si
Csi
B3si
A
3
2Rsi
C2Rsi
B2Rsi
A
5
5
∴ABAC3BC5
即ABAC6（）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）
∵2a6，2c10
∴a3，c5，b4
所求轨迹方程为x2y21（x3）916
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
3、如图，两束光线从点M（4，1）分别射向直线y2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，
反射光线恰好通过椭圆
C：
xa
22

y2b2
1（ab0）的两焦点，已知椭圆的离心率为12
，且
x2x16，求椭圆C的方程5
解：设a2k，ck，k≠0，则b
3
k，其椭圆的方程为
x24k2

y23k2
1
由题设条件得：0212，①kx14x1
0212，②kx24x2
x2x16，
③
5
由①、②、③解得：k1，x111，x21，所求椭圆C的方程为x2y21
5
43
4、在面积为1的PMN中，ta
M1，ta
N2，建立适当的坐标系，求出以M、N为2
焦点且过P点的椭圆方程．
解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，
设Pxy．
则
∴所求椭圆r