第十讲：无穷等比数列的所有项的和
问题1：边长为1的正方形可以分割为：1111，显然，无限的加下去的面积24816
无限趋近于1，即极限为1；1是如何才能求出呢？
先求等比数列
12
11的前
48
项和S


12
1


12



11

1

1
2
S
也是数列
2
则limS


lim

1

12



1。

问题2、无限循环小数09099909009000900009
就是等比数列09009000900009的每一项一直无限的加下去，
该等比数列的前
项的和为
S


9110

9


110
2


9


110
3




9


110



091

110
11



10

1


110


于是把

09
看作
S

当




时的极限，即

09

limS



lim

1


110





1
，因此

091。
上述两个问题有共同的特征：都是无穷等比数列，且它们的公比q的绝对值都小于1。下面，我们来讨论一般无穷等比数列的前
项和的极限。
【知识结构】
设等比数列a
的首项为a1a10，公比为qq0，其前
项和为S
，则
S



a1a11q
1q
q1
q
1
（1）当q
1时，limS


lima1
a1


0无极限；
f（2）当0

q
1时，limS


lim

a11q
1q

lim

1
a1q
lim1

q


a11q
；
（3）当q

1时，limS


lim

a111
11

lim

a12
lim11
无极限；

（4）当q

1或q
1时，limS


lim

a11q
1q

lim

1
a1q
lim1

q
无极限。
我们把0q1的无穷等比数列的前
项和S
当
时的极限叫做无穷等比数
列各项的和（即无穷等比数列所有项的和），并用符号S表示，即Sa10q1。1q
理解：（1）a1

a2

a3


lima1


a2

a3

a


limS



a11q

S0

q
1
；
（2）任何等比数列都有a1的值，只有0q1时才有无穷等比数列的所有项的和这1q
个意义。【典型例题】例1、化循环小数为分数

02929
1029029000290000029



1029；（2）013
100199
r