《探索勾股定理》知识点解读
知识点1：勾股定理（重点）★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b，c分别表示
直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2。该定理反映了直角三角形的三边关系。
（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为
“弦”）
■温馨提示①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能是在
同一个直角三角形中时，才能利用它求第三边边长。A
例：如图，在Rt△ABC中，∠C90°，AC5，BC12，求AB的长。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2AC2BC252122169，所以AB13
C
B
②在式子a2b2c2中，a代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关
系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在
Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A90°时，a2b2c2；当∠C90°时，b2a2c2
例：在Rt△ABC中，AC3，BC4，求AB2的值。解：当∠C90°时，AB2AC2BC2324225；当∠A90°时，AB2BC2AC242327
③遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与
“形”有机地结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形
结合思想方法的典型。
④勾股定理的变式：
在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则
c2a2b2，a2c2b2cbcbb2c2a2caca
ca2b2ac2b2bc2a2
例：如图，已知等腰△ABC的腰ABAC10cm，底边BC12cm，AD是∠BAC的平分线，
则AD的长是
cm
A
解析∵ABAC，AD是∠BAC的平分线，
1
B
C
D
f∴AD⊥BC，BDCD1BC6（cm）2
在Rt△ABD中，由勾股定理知ADAB2BD2102628cm
答案8
知识点2：勾股定理的验证（难点）★勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。说明：（1）探索勾股定理时找面积相等是关键。（2）由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。（3）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理。例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个关于三边长a，b，c之间的关系式，这种方法习惯称为“算两r