《选修41几何证明选讲》核心考点与典型例题
知识点9：圆的切线的判定定理的证明切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．外切圆：与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．常考题型：判定一条直线为圆的切线、证明相似方法详述：一是和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；二是到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；三是经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．例1如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．1求证：DE是⊙O的切线；2若
AC3AF，求的值．AB5DF
解：（1）证明：连接OD，得∠ODA∠OAD∠DAC，∴OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是的⊙O切线（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH∠CABcos∠DOHcos∠CAB
AC3，AB5
设OD5x，则AB10x，OH3x，DH4x，∴AH8x，AD280x2，由△AED∽△ADB，得AD2AEABAE10x，∴AE8x，
8AF8．，∴5DF5AF点评：本题考查圆的切线定理的证明和求的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意DF
又由△AEF∽△DOF，得AF：DFAE：OD圆的性质的灵活运用．高考试题精析【2013高考】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．1求证：DC是⊙O的切线；2求证：AMMBDFDA．
f分析：（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，只需证明OC∥AD；（2）利用射影定理得到CM2AMMB，再利用切割线定理得到DC2DFDA，根据证明的结论，只要证明DCCM．证明：（1）连接OC，∵OAOC，∴∠OAC∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC∠FAC，∴∠FAC∠OCA，∴OC∥AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2AMMB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2DFDA．∵∠MAC∠DAC，∠D∠AMC，ACAC∴△AMC≌△ADC，∴DCCM，∴AMMBDFDA
【练习】1．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CHCP；②ADDB；③APBH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是
A①②④B①③④C②③④D①②③答案：D分析：连接BD．证△PCD≌△HCD（HL）得CHCP；再证明△ADP≌△BDH（AAS）得ADDB；APBH，无法证明DH为圆的切线．解：连接BD．由题意可证△PCD≌△HCD（HL），∴CHCP；还可以证明△ADP≌△BDH（AAS）r