2006届清华大学自主招生数学试题
考试时间：200511281．求最小正整数
，使得I
12
123
i
为纯虚数，并求出I．
2．已知a、b为非负数，Ma4b4ab1，求M的最值．
si
cossi
cos3．已知si
、、为等差数列，si
、、为等比数列，求cos2
的值．4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．5．随机取多少个整数，才能有09以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．6．
1cos22
yx2上一点P非原点，在P处引切线交x、y轴于Q、R，求
PQPR
．
7．已知fx满足：对实数a、b有fabafbbfa，且fx1，求证fx恒为零．可用以下结论：若limgx0fxM，M为一常数，那么limfxgx0
x
x
f2007届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2006年12月30日）
1求fx
ex的单调区间及极值x
2设正三角形T1边长为a，T
1是T
的中点三角形，A
为T
除去T
1后剩下三个三角形内切圆面积之和求lim

A
k1


k

3已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果A090C095B095求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率41求三直线xy60，yE094D094
1x，y0所围成三角形上的整点个数；2
y2x12求方程组yx的整数解个数2xy60
5已知A11，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy1x0一支上1求证B、C关于直线yx对称；2求△ABC的周长
26对于集合MR，称M为开集，当且仅当PM，r0，使得0
PR2PP0rM判断集合xy4x2y50xyx0y0是否为开与
集，并证明你的结论
f2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题
1已知abc都是有理数，abc也是有理数，证明：abc都是有理数；
2（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；
（2）四面体一个顶点处的三个角分别是的面所成的二面角；

23
arcta
2，求
的面和arcta
23
3求正整数区间m
m
中，不能被3整除的整数之和；
4已知si
cos1si
2，求的取值范围；
5若lir