均值不等式归纳总结
11若abR，则a2b22ab2若abR，则aba2b2
2
时取“”）21若abR，则abab2若abR，则ab2ab
2
时取“”）
（当且仅当ab（当且仅当ab
3若abR，则abab2当且仅当ab时取“”）
2
3若x0，则x12当且仅当x1时取“”）
x
若x0，则x12当且仅当x1时取“”）
x
若x0，则x12即x12或x12当且仅当ab时取“”）
x
x
x
4若ab0，则ab2当且仅当ab时取“”）
ba
若ab0，则ab2即ab2或ab2当且仅当ab时取“”）
ba
ba
ba
5若abR，则ab2a2b2（当且仅当ab时取“”）
2
2
『ps1当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
2求最值的条件“一正，二定，三取等”3均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
f应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
1（1）y＝3x2＋
2x2
1（2）y＝x＋
x
f1解：1y＝3x2＋≥2
2x2
13x2＝6∴值域为6，∞）
2x2
12当x＞0时，y＝x＋≥2
x
1x＝2；
x
1
1
当x＜0时，y＝x＋－（－x－）≤－2
x
x
∴值域为（－∞，－2∪2，∞）
1x－2
x
解题技巧
技巧一：凑项
例
已知
x

54
，求函数
y

4x

2

14x5
的最大值。
解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又4x21不是常数，所以对
4x5
4x2要进行拆、凑项，
x

54
5

4
x

0
，
y

4x

2

14x
5



5

4x

5
14x


3

2

3

1
当且仅当5
4x

154x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
ymax
1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1当
时，求yx82x的最大值。
解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为
定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x82x8为定值，
故只需将yx82x凑上一个系数即可。
当
，即x＝2时取等号当x＝2时，yx82x的最大值为8。
f评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而
可利用均值不等式求最大值。
变式：设0x3，求函数y4x32x的最大值。
2
解：∵0

x

32
∴3
2x

0∴
y

4x3
2x

22x3
2x

2
2x
32
2x
2


92
当且仅当2x32x即x303时等号成立。
42
技巧三：分离例3求yx27x10x1的值域。
x1
解析一：本题看似无法运用均r