2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当x33时，函数fxx33x的最大值为__18___
2、在ABC中，已知ACBC12ACBA4则AC___4____
3、从集合345678中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
3
____________
104、已知a是实数，方程x24ix4ai0的一个实根是b（i是虚部单位），则
abi的值为_____22___5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线Cx2y21的右焦点为F，一条过原点O且
124倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于AB两点若FAB的面积为83，则直线的斜
1
率为_______
26、已知a是正实数，kalga的取值范围是___1_____7、在四面体ABCD中，ABACADDB5BC3CD4该四面体的体积为_____53_______
8、已知等差数列a
和等比数列b
满足：
a1b13a2b27a3b315a4b435则a
b
___3
12
___（
N）9、将2737474855，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，
则这样的排列有___144_____种
10、三角形的周长为31，三边abc均为整数，且abc，则满足条件的三元数组abc的个数为__24___
1
f二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在ABC中，角ABC对应的边分别为abc，证明：
（1）bcosCccosBa
（2）
cos
A

cos
B

2si
2
C2
ab
c
12、已知ab为实数，a2，函数fxl
xabx0若x
f1e1f2el
212
（1）求实数ab；（2）求函数fx的单调区间；（3）若实数cd满足cdcd1，求证：fcfd
2
f13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点在射线OM上有一动点BAB1OB1线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点求线段CD长的取值范围
3
f14、设是abcd正整数，ab是方程x2dcxcd0的两个根证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形
4
f2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知集合AxxaBxxbabN，且ABN1，则ab1．2．已知正项等比数列a
的公比q1，且a2a4a5成等差数列，则
a1a4a735．
a3a6a9
2
3．函数fx
x1的值域为06．
x24x7
6
4．已知3si
22si
21，3si
cos22si
cos21，则cos21．3
5．r