x1x2
11
13
或

x1x2
11
13
解得：x12

x2

4
或x10

x2

2
由此x1x28或0，分别代入②，得m7或m1
5利用根与系数的关系
例71998年全国竞赛题求所有正实数a使得方程x2ax4a0仅有
整数根
解：设方程的两整数根分别是x1，x2，且x1x2
由根与系数的关系得
由①得
a2

x2

a
…③
∴4x18
x1x2a0①
x1x24a0②
将③代入②得4ax1x2x1a
a4ax1x2x12
显然x1≠4，故x1可取5，6，7，8。
6构造新方程
从而易得a25，18，16。
例81996年全国联赛方程xax810有两个整数根求a的值
解：原方程变为x828ax810设yx8，则得新方程为y28ay10
设它的两根为y1，y2，则y1y2a8y1y21
∵x是整数，∴y1，y2也是整数，则y1，y2只能分别为1，1或1，1
即y1y20
7构造等式
∴a8。
35
f中考数学复习重点一元二次方程
例92000年全国联赛C卷求所有的正整数abc使得关于x的方程
x23ax2b0x23bx2c0x23cx2a0所有的根都是正整数
解：设三个方程的正整数解分别为x1x2x3x4x5x6，则有
x23ax2bxx1xx2x23bx2cxx3xx4x23cx2axx5xx6
令x1，并将三式相加，注意到xi≥1（i1，2，…6），有
3abc1x11x21x31x41x51x60000但a≥1，b≥1，c≥1，又有3（abc）≤0，
∴3（abc）0
故abc1
8分析等式
例101993年安徽竞赛题
为正整数，方程x231x3
60
有一个整数根，则
__________
解：设已知方程的整数根为α，则
a231a3
60整理得a2a63a
因为a为整数，所以a2a6为整数3a
也一定是整数，要使3a
为整数，必有a

由此得a2a60，即
2
60
解得
3或2（舍去）
∴
3。
9反客为主
例11第三届《祖冲之杯》竞赛题求出所有正整数a使方程
ax222a1x4a30至少有一个整数根
解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程x24x4a2x12
得a2x121（因为是正整数）x22
则得x4x20解得4x2因此，x只能取4，3，1，0，1，2。
分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。
10利用配方法
45
f中考数学复习重点一元二次方程
例12第三届《祖冲之杯》竞赛题已知方程a21x225a1x240
有两个不等的负整数根则整数a的值是__________
解：原方程可变为
a2x210axx22x240即a2x210ax25x22x1ax52x12ax5x1
得：x1

a
6
1

x2

4a1
当a11，2，3，6，即a0，1，2，5时，xr