∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF∴∠ABF＝∠DEC
ABDE在△ABF和△DEC中∠ABF∠DEC
BFEC
∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
4
f【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使
点C落在AB边上的点P处若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）
A．42°
B．48°
C．52°
D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）
A．△ABC≌△DEF
B．∠DEF＝90°
C．AC＝DF
D．EC＝CF
C
D
E
DA
G
A
P
B
第1题图
BE
CF
第2题图
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明
A
A
C
E
E
PM
N
F
B
DBF
C
D
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等经观察，证AP＝AQ也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以
证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2
ABQC在△APB和△QAC中∠1∠2
BPCA
B∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
AP
E
D
1
F
Q
2C
5
f⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【变式题组】
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CDA
B
E
C
F
D
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂
直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙
上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是
（）
A．abm2
B．abm2
C．bm
D．am
C
M
B
ND
75°45°
AC
B
第2题图
A
E
第3题图
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
50°
a
c
r