数应用
一罗尔定理
设函数fx满足（1）在闭区间ab上连续；（2）在开区间ab内可导；（3）fafb则存在ξ∈ab，使得f′ξ0
二．拉格朗日中值定理
设函数fx满足（1）在闭区间ab上连续；（2）在开区间ab内可导；则存在ξ∈ab，使得fbfaf
ba推论1．若fx在ab内可导，且f′x≡0，则fx在ab内为常数。推论2．若fxgx在ab内皆可导，且f′x≡g′x，则在ab内fxgxc，其中c为一个常数。
三柯西中值定理
设函数fx和gx满足：（1）在闭区间ab上皆连续；（2）在开区间ab内皆可
导；且g′x≠0则存在ξ∈ab使得fbfafab
gbgag（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形gxx时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
四泰勒公式（①估值②求极限（麦克劳林））
定理1．（皮亚诺余项的
阶泰勒公式）设fx在0x处有
阶导数，则有公式
，称为皮亚诺余项
定理2（拉格朗日余项的
阶泰勒公式）设fx在包含0x的区间ab内有
1阶导数，在ab上有
阶连续导数，则对x
∈ab，有公式
，
称为拉格朗日余项上面展开式称为以0x为中心的
阶泰勒公式。当x00时，也称为
阶麦克劳林
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f公式。常用公式前8个
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f五．导数的应用
一．基本知识设函数fx在x0处可导，且x0为fx的一个极值点，则fx00。
我们称x满足fx00的x0称为fx的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法1第一充分条件
fx在x0的邻域内可导，且fx00，则①若当xx0时fx0，当xx0时，fx0，则x0为极大值点；②若当xx0时，fx0，当xx0时，fx0，则x0为极小值点；③若在x0的两侧fx不变号，则x0不是极值点
2第二充分条件
fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00，则①若fx00，则x0为极大值点；②若fx00，则x0为极小值点
3泰勒公式判别法（用的比较少，可以自行百度）
二凹凸性与拐点1．凹凸的定义设fx在区间I上连续，若对任意不同的两点12xx，恒有
则称fx在I上是凸（凹）的。在几何上，曲线yfx上任意两点的割线在曲线下（上）面，则yfx是凸（凹）的。如果曲线yfx有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则yfx是凸（凹）的。2．拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3．凹凸性的判别和拐点的求法设函数fx在ab内具有二阶导r