双_曲_线
知识能否忆起
1．双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数小于F1F2的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1a0，b0
ay22－bx22＝1a0，b0
图形
范围
对称性
性质
顶点渐近线离心率
实虚轴
通径a、b、c的关系
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称轴：坐标轴对称中心：原点
对称轴：坐标轴对称中心：原点
A1－a0，A2a0y＝±bax
A10，－a，A20，ay＝±abx
e＝ac，e∈1，＋∞，其中c＝a2＋b2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2ab2
c2＝a2＋b2ca0，cb0
小题能否全取1．教材习题改编若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为
A－22，0
B－25，0
fC－26，0
D－3，0
解析：选C∵双曲线方程可化为x2－y12＝1，2
∴a2＝1，b2＝12∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
62
∴左焦点坐标为－26，0
2．教材习题改编若双曲线ax22－y2＝1的一个焦点为20，则它的离心率为

25
3
A5
B2
23C3
D．2
解析：选C依题意得a2＋1＝4，a2＝3，
故e＝
2＝a2
2＝23
3
3
3．设F1，F2是双曲线x2－2y42＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，
则△PF1F2的面积等于
A．42
B．83
C．24
D．48
解析：选C由P是双曲线上的一点和3PF1＝4PF2可知，PF1－PF2＝2，解得PF1
＝8，PF2＝6又F1F2＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24
4．双曲线ax22－y2＝1a＞0的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．
a2＋1解析：由题意知a＝
1＋1a2＝2，解得a＝33，故该双曲线的渐近线方程是3
x±y＝0，即y＝±3x
答案：y＝±3x5．已知F10，－5，F205，一曲线上任意一点M满足MF1－MF2＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则ke＝________解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，
f∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝ac＝54，k＝43
∴ke＝43×54＝53
答案：53
1区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋
b2双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈01．
2．渐近线与离心率：
ax22－by22＝1a0，b0的一条渐近线的斜率为ba＝
ba22＝
双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
c2－a2a2＝e2－1可以看r