五种方法求二面角及练习题
一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这
两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角SAMB中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面
ABCD，AD2
DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM60°（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角SAMB的大小。
证（I）略
解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B
作BFAM交AM于点F，则点F为AM的中点，过F点在平面ASM内作GFAM，
GF交AS于G，
G
F
连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴ASAC，且M是SC的中点，
∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则GFB即为所求二面角
∵SM2，则GF2，又∵SAAC6，∴AM22
∵AMAB2，ABM600∴△ABM是等边三角形，∴BF3
在△GAB中，AG6，AB2，GAB900，∴BG3411
2
2
2
GF2FB2BG2
cosBFG

1311
2
2
2
6
2GFFB
2236
3
2
∴二面角SAMB的大小为arccos63
GF
f练习1（2008山东）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
ABC60E，F分别是BCPC的中点
（Ⅰ）证明：AE⊥PD（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角
的正切值为6，求二面角EAFC的余弦值2
分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二
面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为15）5
二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角BFC1C中半平面
BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂
足O；再过该垂足O作棱FC1r