南京财经大学2012年硕士研究生入学考试初试试题（A卷）
科目代码：615科目名称：数学分析满分：150分注意①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸
上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、计算题
（共5题，每题8分，共计40分）
xy，其中f
（1）设zfxyxy（2）将函数fxx2
2
具有二阶连续偏导数，求
zx

z
2
xy
。
x
23
展开为傅里叶级数。
（3）求极限lim
xarcta
xta
xarcsi
x

x0
。

（4）在11内求幂级数1
x
1的和函数，并且求
1

2

的和。

1
（5）求曲线积分zydxxzdyyxdz，其中L是以Aa00，B0a0，
L
和C00a为顶点的三角形沿ABCA的方向。
二、（共1题，共计12分）设函数fx在01上非负连续，f10，证明：存在c01，使得fc三、（共1题，共计12分）设fx在01上有连续导函数，f00，证明：

c
ftdt
0
。

10
fxdx
2
1
2
10
2fxdx
。
四、（共1题，共计12分）设函数fx在闭区间ab上无界，证明：存在x0ab，使得fx在点x0的任意邻域内无界。
615数学分析
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f五、（共1题，共计12分）证明：函数F

1
cosxx

dx
在0内连续。
六、（共1题，共计12分）设连续函数fx在1上单调减少且证明：数列x
收敛。
fx0，若x



fk
k1



fxdx
1
七、（共1题，共计12分）设uuxy具有二阶连续偏导数，证明：存在常数ab使得在变换sxay，
txby下，可将微分方程
u
2
x
2
4
u
2
xy
3
u
2
y
2
0化为
u
2
st
0
。
八、（共1题，共计12分）设fx在11上有三阶导数，且f1f00f11，证明：存在11，使得f3。
九、（共1题，共计12分）设fxyz是R3上的连续函数，且满足limfxyz，其中r
r
xy
2
2
z
2
，
则一定存在x0y0z0R3，使得fx0y0z0
xyzR
i
f
3
fxyz。
十、（共2题，共计14分）设fx常积分


12x

，（1）证明：fx在0上r