2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午800940）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若Axx－2≤0，Bx10x2－210x，则A∩RB是

A2
B1
Cxx≤2
D
2．设si
＞0，cos＜0，且si
α3＞cosα3，则α3的取值范围是

A2kπ6，2k3π，kZ
B
2kπ3
π6，23kπ3π，kZ
C2k56π，2k，kZ
D2k4π，2k3π∪2k56π，
2k，kZ
3．已知点A为双曲线x2y21的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，
△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是

3A3
33B2
C33
D63
4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，
q是等差数列，则一元二次方程bx22axc0

A无实根
B有两个相等实根
C有两个同号相异实根
D有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y53x45的距离中的最小
值是

34A170
34B85
1C20
1D30
6．设ωcos5πisi
5π，则以，3，7，9为根的方程是

Ax4x3x2x10
Bx4x3x2x10
Cx4x3x2x10
Dx4x3x2x10
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsi
si
2000__________．2．设a
是3x
的展开式中x项的系数
2，3，4，…，则
→lim∞3a223a33…3
a
________3．等比数列alog23，alog43，alog83的公比是____________
f4．在椭圆ax22by221a＞b＞0中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B若该椭圆的离心率是52－1，则∠ABF_________
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________
6．如果：1a，b，c，d都属于1，2，3，4；2ab，bc，cd，da；3a是a，b，c，d中的最小值，
____那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________三、解答题本题满分60分，每小题20分
1．设S
123…
，
N，求f
3S2
S
1的最大值．
f2．若函数fx－21x2123在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b．
3．已知C0：x2y21和C1：ax22ay221a＞b＞0．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
f2000年全国高中数学联赛二试题（10月15日上午10∶0012∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证
明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
A
M
N
B
EF
C
D
二．（本题满分50分）
设数列ar