2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3
一、选择题（36分）1．给定公比为qq≠1的等比数列a，设
3
1


b1a1a2a3b2
3

a4a5a6…b
a
A是等差数列C是公比为q3的等比数列
解析：C由题设，a
a1q
1
3
2
a
a
…，则数列b




B是公比为q的等比数列D既非等差数列也非等比数列
，则
因此，｛b
｝是公比为q的等比数列．
3
2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式x12y12＜2的整点xy的个数是A16B17C18
解析：
D25
A由x1y12可得x1y1为0，0，0，1，0，1，1，0或1，0从而，不难得到xy共有16个．
22
3．若log23
x
log53≥log23log53
Bxy≥0Dxy≤0
x
y
y
，则

Axy≥0Cxy≤0
解析：
B记ftlog23log53，则ft在R上是严格增函数．原不等式即fx≥fy．故x≥y，即xy≥0．
tt
4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与
fβ的交线，那么，c至多与ab中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，A命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确B命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确C两个命题都正确D两个命题都不正确
解析：
D．
行平面，的任意
如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．
5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是A0B1C2D3
解析：
B设这三名选手之间的比赛场数是r，共
名选手参赛．由题意，可，即44r．由于0≤r≤3，经检验可知，
得
仅当r1时，
13为正整数．6．已知点A12，过点52的直线与抛物线y24x交于另外两点BC，那么，△ABC是A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定
解析：
C
设Bt22tCs22ss≠ts≠1t≠1，则直线BC的方程为，化得2xsty2st0．由于直线BC过点5，2，故2×5st22st0，即s1t14．因此，所以，∠BAC90°，从而△ABC是直角三角形．二、填空题（54分）7．已知正整数
不超过2r