求四边形ABCD的周长.
f【分析】(1)以C为圆心,CB为半径画弧,交⊙O于D,线段CD即为所求.(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.【解答】解:(1)如图,线段CD即为所求.
(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴BC=
=
=6,
∵BC=CD,
∴=,
∴OC⊥BD于E.∴BE=DE,∵BE2=BC2EC2=OB2OE2,∴62(5x)2=52x2,解得x=,
∵BE=DE,BO=OA,∴AD=2OE=,
∴四边形ABCD的周长=6610=.【点评】本题考查作图复杂作图,圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是
f学会利用参数,构建方程解决问题.
7(2019贵州省安顺市12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:H为CE的中点;(3)若BC=10,cosC=,求AE的长.
【解答】(1)解:DH与⊙O相切.理由如下:连结OD、AD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,而AO=BO,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH为⊙O的切线;(2)证明:连结DE,如图,∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,
f∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点;(3)解:在Rt△ADC中,CD=BC=5,∵cosC==,∴AC=5,在Rt△CDH中,∵cosC==,∴CH=,∴CE=2CH=2,∴AE=ACCE=52=3.
8如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O直径,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于点E,交⊙O于点D,连接BD.(1)求证:∠BAD=∠CBD;(2)若∠AEB=125°,求的长(结果保留π).
【分析】(1)根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论;(2)连接OD,根据平角定义得到∠AEC=55°,根据圆周角定理得到∠ACE=90°,求得∠CAE=35°,得到∠BOD=2∠BAD=70°,根据弧长公式即可得到结论.【解答】(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∵∠CAD=∠CBD,
f∴∠BAD=∠CBD;(2)解:连接OD,∵∠AEB=125°,∴∠AEC=55°,∵AB为⊙O直径,∴∠ACE=90°,∴∠CAE=35°,∴∠DAB=∠CAE=35°,∴∠BOD=2∠BAD=70°,
∴的长=
=π.
9(2019广东省广州市3分)平面内,⊙O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可
作⊙O的切线条数为()
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系,再根据切线的定义即可直接得出答案.
【解答】解:r