年级奥数讲义
分母

个9，其中
等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧

0a

a
；
9

0ab
ab
；
99
2、单位分数的拆分：
ab00ab
1

ab
；
9910990

0abc
abc

a
，……
990
例：
110

120

120

1


1


1


1


1


1


1


1

分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和
有：
11m
m
11NNm
Nm
Nm
AB
本题10的约数有11025。例如：选1和2，有：
11121211101012101210123015
本题具体的解有：
1111111111011110126014351530
例题精讲
模块一、分数裂项
【例1】
1111
1
123423453456
678978910
【解析】原式

13

1
12
3

2
13
4

2

13
4

3
14

5


7

18

9

8

1910


13

1
12
3

18910

1192160
【巩固】33
3
12342345
17181920
【解析】原式311111113123234234345171819181920
1131920111391231819201819206840
【例2】计算：5719
．
123234
8910
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列该数列的第
个数恰好为
的
2倍，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和
再进行计算．
原式3234316
123234
8910

3

1
12
3

2

13

4


8

1910


2


1
12
3

2

23
4


8

8910


3

12


112

2
1
3

2
1
3

13
4


8
1
9

9
110


2


2
1
3

3
1
4


9
110


32


112

9
110


2


12

13

13

14


19

110


32


12

190


2


12

110

7114605
2315
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2
3，所以
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f六年级奥数讲义





2
3
1


2



1
2


2







3
1



2
，再将每一项的
2
1
2
与
3
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．

1
2
【巩固】计算：1155（571719）
234345
891091011
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：571719．这个算式不同于我们
234345
891091011
常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情
况．所以应r