几何的五大模型
一、等积变换模型1等底等高的两个三角形面积相等2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比3两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
如左图S1：S2ab4夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABCS△BAD反之，如果S△ABCS△BCD，则可知直线AB平行于CD（AB∥CD）二、鸟头定理共角定理模型1两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。2共角三角形的面积比等于对应角相等角或互补角两夹边的乘积之比。
如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图或D在BA的延长线上，E在AC上，则S△ABC：S△ADEAB×ACAD×AE
1
f推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。
证明：
图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的
高为H2
△ABE中S△ADE：S△ABEAD：AB
同理S△ADE：S△ABEH1：H2
AD：ABH1：H2
又因S△ADEAEH112
S△ABCACH212得出S△ADE：S△ABCAEH1：ACH2
所以S△ADE：S△ABCAB×ACAD×AE
图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高
为H2
△DBE中，S△ADE：S△ABEAD：AB
S△ADE：S△ABEH1：H2
AD：ABH1：H2
又因S△ADEAEH112
S△ABCACH212得出S△ADE：S△ABCAEH1：ACH2
所以S△ADE：S△ABCAB×ACAD×AE
三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系“蝴蝶定理”
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f①S1S2S4S3或者S1×S3S2×S4②AOOCS1S2S4S3证明（1）：在△ABD中，S1：S2DOOB在△DCB中，S4：S3DO：OB得到S1S2S4S3或者S1×S3S2×S4十字相乘法证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2
S1S2S4S3（AOH112AOH212）：（OCH112OCH212）约分得到：S1S2S4S3AO：OC
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1：S3a2：b2
证明：
由AO：OCDO：OCab
而S1：S2DO：OC
S1：S2ab，得到S1abS2
3
f②而S2：S3AO：OCS3a2：b2
S2：S3ab，得到S3S2baS1：
③S1：S3：S2：S4a2：b2：abab证明：由上面公式转换推得③梯形S的对应份数为ab2证明：由上面公式转换推得
四、相似模型相似三角形性质：
1ADAEDEAF
ABACBCAG
2S△ADE：S△ABCAF2AG2
证明：SS△ADE：△ABCDEAF12：BCAG12
DEAFBCAG
SSAF2△ADE：△ABC
AG2
所谓相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形只要其形状不改变，不论大小怎样r