2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知点P4，1在函数fx＝logax－bb＞0的图象上，则ab的最大值是
．
解：由题意知，loga4－b＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤a＋4b2＝4，
当a＝b＝2时，ab的最大值是4．
2．函数fx＝3si
2x－4π在x＝4234π处的值是
．
解：2x－π4＝4132π－π4＝4102π＝103π＝2π＋43π，所以f4234π＝3si
43π＝－32．
3．若不等式ax＋1≤3的解集为x－2≤x≤1，则实数a的值是
．
解：设函数fx＝ax＋1，则f－2＝f1＝3，故a＝2．
4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、
9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是
．
解：有两类情况：同为白球的概率是235××1205＝63205，同为红球的概率是275××625＝64225，所求的概率是67225．
5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆ax22＋by22＝1a＞b＞0与椭圆bx22＋yc22＝1有相同
的离心率e，则e的值是
．
解：若c＞b，则ac22＝c2－c2b2，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有ac22＝b2－b2c2，解得e＝－1＋25．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－
ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体
D1
积为V2，则VV12的值是
．
A1
D
C1
B1E
C
A
B
（第6题图）
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第1页共5页
f解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V．如图，DE＝23DB1，从而V1＝23V．又V＝13V2，所以VV12＝29．
D1O
A1E
D
C1B1
C
A
B
（第6题图）
7．若实数集合A＝31x，65y与B＝5xy，403仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素
之积的值是
．
解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一
组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0．
8．设向量a＝cosα，si
α，b＝－si
α，cosα．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；
向量
y1，y2，…，y7
中有
2
个为
a，其余为
b．则
7

xiyi
的可能取值中最小的为
．
i1
解：因为
aa＝bb＝1，ab＝0，所以
7

xiyi
的最小值为
2．
i1
9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个
方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知
a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2r