第九章平面解析几何第48课直线与椭圆的位置关系课时分层训练
A组基础达标建议用时：30分钟1．如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1ab0过点A21，离心率为32
x2y2ab
图4851求椭圆的方程；2若直线l：y＝kx＋mk≠0与椭圆相交于B，C两点异于点A，线段BC被y轴平分，解1由条件知椭圆2＋2＝1ab0的离心率为e＝＝12222所以b＝a－c＝a4又点A21在椭圆2＋2＝1ab0上，41所以2＋2＝1，
x2y2ab
ca
3，2
x2y2ab
a
b
解得
a＝8，b＝2
2
2
所以，所求椭圆的方程为＋＝1822将y＝kx＋mk≠0代入椭圆方程，得x＋4kx＋m－8＝0，整理得1＋4kx＋8mkx＋4m－8＝0①8mk由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－2＝0，1＋4k因为k≠0，所以m＝0因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设Bx，kx，C－x，－kx，
22222
x2y2
f82由方程①，得x＝2，1＋4k又因为AB⊥AC，A21，→→22所以ABAC＝x－2－x－2＋kx－1－kx－1＝5－1＋kx＝5－0，1所以k＝±2111由于k＝时，直线y＝x过点A21，故k＝不符合题设．2221所以，此时直线l的方程为y＝－x22．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为32＋k＝21＋4k
2
1求椭圆C的方程；2若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
y2x2解1设椭圆的标准方程为2＋2＝1ab0，ab
由条件可得a＝2，c＝3，b＝1，故椭圆C的方程＋x＝142设Ax1，y1，Bx2，y2，
y2
2
yx2＋＝1，4由y＝kx＋1，
故x1＋x2＝－
2
2
得k＋4x＋2kx－3＝0，
2
2
2k3，x1x2＝－2k＋4k＋430，k＋4
2
设△OAB的面积为S，由x1x2＝－11知S＝x1＋x2＝x1－x222＝12
2
x1＋x2
2
－4x1x2＝2
k2＋3k2＋
2
，
令k＋3＝t，知t≥3，∴S＝2
1，1t＋＋2
t
11t－1对函数y＝t＋t≥3，知y′＝1－2＝20，
2
t
t
t
f1∴y＝t＋在t∈3，＋∞上单调递增，
t
110∴t＋≥，∴0t3
133≤，∴S∈0，1162t＋＋2
t
B组能力提升建议用时：15分钟1．2017苏锡常镇调研一在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1ab013过点P1，，离心率为221求椭圆C的方程；2设直线l与椭圆C交于A，B两点．①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；②若直线l的斜率为1
22
x2y2ab
322，试探究OA＋OB是否为定值？若是定值，则求r