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三、导数及其应用（选修22）1（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数fx
1x
2

11x0x1的
2
性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CPx，则APPFfx请你参考这些信息，推知函数
DCPF
fx的图象的对称轴是
；函数gx4fx9的零点的个数
是

ABE
答案：x
12
；2。
2axa1
2
2（2012年西城二模理19）已知函数fx
x1
2
，其中aR．（Ⅰ）a1时，当
求曲线yfx在原点处的切线方程；（Ⅱ）fx的单调区间；求（Ⅲ）fx在0若上存在最大值和最小值，求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a1时，fx
2xx1
2
，fx2
x1x1x1
22
．
………………2分
由f02，得曲线yfx在原点处的切线方程是2xy0．…………3分（Ⅱ）fx2
xaax1x1
2
．
2x
………………4分．……5分
①当a0时，fx
x1
2
所以fx在0单调递增，在0单调递减．
xax1ax1
2

当a0，fx2a
．
1a
x2
0
②当a0时，令fx0，得x1a，x2
x
fx
fx
，fx与fx的情况如下：
x2

x1

x1
0
x1x2


fx1

1a
fx2

1a
故fx的单调减区间是a，分
；单调增区间是a
．
………7
③当a0时，fx与fx的情况如下：
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x
fxfx
x2
x2
0
x2x1

x1
0
x1



fx2

fx1

1aa…9分
所以fx的单调增区间是，a；单调减区间是
a
1
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，a0时不合题意．
1a
……10分
1a
当a0时，由（Ⅱ）得，fx在0单调递增，在单调递减，所以fx在0上存在最大值fa0．
2
1a
设x0为fx的零点，易知x0时，fx0．
1a2a
2
，x0且
1a
．从而xx0时，fx0；xx0
若fx在0上存在最小值，必有f00，解得1a1．所以a0时，若fx在r