解析几何中求参数取值范围的方法
近几年来与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中这类问题不仅涉及知识面广综合性大应用性强而且情景新颖能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质是历年来高考命题的热点和重点学生在处理这类问题时往往抓不住问题关键无法有效地解答这类问题求解的关键在于根据题意构造相关的不等式然后求出不等式的解那么如何构造不等式呢本文介绍几种常见的方法
一利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围如椭圆x2a2y2b21上的点Pxy满足a≤x≤ab≤y≤b因而可利用这些范围来构造不等式求解另外也常出现题中有多个变量变量之间有一定的关系往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式再来求解这是解决变量取值范围常见的策略和方法
例1已知椭圆x2a2y2b21ab0AB是椭圆上的两点线段AB的垂直平分线与x轴相交于点Px00
求证a2b2a≤x0≤a2b2a
分析先求线段AB的垂直平分线方程求出x0与AB横坐标的关系再利用椭圆上的点AB满足的范围求解
解设AB坐标分别为x1y1x2y2x1≠x2代入椭圆方程作差得y2y1x2x1b2a2x2x1y2y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
yy1y22x2x1y2y1xx1x22
令y0得x0x1x22a2b2a2
f又∵AB是椭圆x2a2y2b21上的点
∴a≤x1≤aa≤x2≤ax1≠x2以及a≤x1x22≤a
∴a2b2a≤x0≤a2b2a
例2如图已知△OFQ的面积为S且OFFQ1若12S2求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围
分析须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系利用S的范围解题
解依题意有
∴ta
θ2S
∵12S2∴1ta
θ4
又∵0≤θ≤π
∴π4θARCTAN4p
例3对于抛物线y24x上任一点Q点Pa0都满足PQ≥a则a的取值范围是
Aa0Ba≤2C0≤a≤2D0A2p
分析直接设Q点坐标利用题中不等式PQ≥a求解
解设Qy024y0由PQ≥a
得y02y024a2≥a2即y02y02168a≥0
∵y02≥0∴y02168a≥0即a≤2y028恒成立
又∵y02≥0
f而2y028最小值为2∴a≤2选B
二利用判别式构造不等式
在解析几何中直线与曲线之间的位置关系可以转化为一元二次方程的解的问题因此可利用判别式来构造不等式求解
例4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q若过点Q的直线L与抛物线有公共点则直线L的斜率取值范围是
A1212B22C11D44
分析由于直线l与抛物线有公共点等价于一元二次方程有解则判别式△≥0
解依题意知Q坐标为20则直线L的方程r