高等数学竞赛模拟试题（高等数学竞赛模拟试题（六）
学号题号得分一二三四五姓名六总分
填空题（一、填空题（每小题5分，共50分）1．函数fxarcta

x33关于幂级数展开式中x的系数a3x3
。
，收敛域为
。
2．
∫x
4
dx1x2
3．设Dx≤1y≤1则
∫∫yxdxdy
D
。
4．设直线距离等于
x2yz2在平面xy＋z0上的投影为直线L，则点121到直线L的2xyz3
。
5．设空间曲线C由立方体：0≤x≤10≤y≤10≤z≤1的表面与平面xyz截而成，则
3相2
∫z
C
2
y2dxx2z2dyy2x2dz＝
11x2y2
。
6．
∫
1
1
dx∫
1x2
0
dy∫
dzx2y2z2
0

42λ
。
7．λ＝当
时，在右半平面x0上的向量Axy2xyxyixxyj
24
2λ
为二元函数uxy＝
的梯度。
8．lim
→∞
l
1l
2l

Ll
＝11
1
2
2
。
9．lim
arcta

→∞
aaarcta
a≠0＝
1
→∞
。。
10．设I

∫
1
1

1
x
1x
dx则lim
I
＝
（每小题二、每小题6分，共18分）（
x2y2z231．求曲面22227abcxyz围成的体积，其中a0，b0c0。（abc
f2．计算曲面积分
∫∫yzyzdydzxzzxdzdxxyxydxdy其中Σ是曲面
Σ
3z4Rxx2y2R≥1在柱面x2y21之内部分的上侧。2
3．设fx在01上连续，且
∫
1
0
fxdx0∫xfxdx0LL
0
1
∫
1
0
x
1fxdx0
∫
1
0
x
fxdx1，证明：存在ξ∈01使fξ≥2
1。
f三．7分）（正项数列a
单调增加，证明收敛。
∞
1收敛的充分必要条件是∑∑aaLa
11
1a
2

∞
四．分）将均匀的旋转抛物体：x2y2≤z≤1放在水平的桌面上，当形体处于稳定平（7衡时，求它的轴线与桌面的夹角θ（指锐角）。（提示：当重心最低时形体处于稳定平衡。）
f五．分）（9讨论级数v1v2Lv
L的敛散性，其中v1si
x0，v
1si
v
，
sss

12L。
六．分）设fx在∞∞上连续，fx0，已知对任意的t都有（9
∫
∞
∞
extfxdx≤1，证明对一切a与bab有
∫
b
a
fxdx≤
ba12
fr