交通大学2000年自主招生考试数学试题一、选择题（本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内）1．若今天是星期二，则3（A．星期四
1998
天之后是）C．星期二D．星期一
B．星期三
2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是（A．）
4813
22
B．
21613
C．
172813
D．
813
3．方程cosx
xsi
x＝m1有实数解，则实数m的取值范围是
（）C．m
2
A．m
18
B．m
D．3m
18
4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程xpxq＝0的两个根，则此数列各项的积是（A．p
m
）B．p
2m
C．q
m
D．q
2m
5．设f’（x0）＝2，则lim
h0
fx0hfx0hh
）C．D．4
（A．B．2
二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f（x）的原函数是x1，则2．设x0

1
0
f2xdx__________．

2
，则函数（si
2x
11cos2x的最小值是__________．2si
xcos2x
xxx3．方程316281536的解x＝__________．
4．向量ai2j在向量b3i4j上的投影ab__________．5．函数y2x33x2的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数
f是__________．7．方程7x
2
（k13）xk
2
k
＝0的两根分别在区间（01）和（12）内，则k的取
值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．（6分）已知正数列a1，a2，…，a
，且对大于1的
有a1a2
a

3
，2
a1a2
a

1．2
试证：a1，a2，…，a
中至少有一个小于1．
2．（10分）设3次多项式f（x）满足：f（x2）＝f（x），f（0）＝1，f（3）＝4，试求f（x）．
3．（8分）求极限lim
1p2p
pp0．
p1
x2bxcx04．（10分）设fx在x＝0处可导，且原点到f（x）中直线的距x0lxm
离为
1，原点到f（x）中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．（bc0）3
f5．（8分）证明不等式：1si
xcosx24，x0
3

2
．
6．（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜r