几何图形的动点探究问题
1（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________用含有a，b的式子表示；（2）应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1如图②所示，分别以AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；（3）拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2，0，点B的坐标为5，0，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
第1题图解：（1）CB的延长线上，a＋b；【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b（2）①BEDC，理由如下：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
f∴△CAD≌△EABSAS，∴BEDC；②BE长的最大值是4；【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4（3）AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是2－2，2．【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，PA＝PN，∴∠APN＝90°，由（1）得出当点N在BA的延长线上时，NB有最大值如解图②，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是2－2，2．
第1题解图
2如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA
＝12，OC＝8，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA
方向以每秒15个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段CO上
沿CO方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间
为t秒．
（1）B点的坐标为
，OQ＝
，AP＝；（用含t的代数式表示）
f（2）当t为何值时，△BCQ的面积不小于△BAP的面积？（3）当t为何值时，△OPQ的面积与△BAP的面积的和为36？请求出t的值；连接AC，试探究此时线段PQ与AC之间的数量关系并说明理由．
第2题图
备用图
解：（1）（12，8），8t，1215t；
【解法提示】∵四边形OABC是矩形，且OA＝12，OC＝8，
∴B（12，8），
由题意得：OP＝15t，CQ＝t，
∴AP＝1215t，OQ＝8t
（2）∵S△BCQ≥S△BAP，
∴1CQBC1APAB，12t≥8（1215t），t≥4，r